永野裕之「中学生からの数学「超」入門 ─起源をたどれば思考がわかる」(筑摩書房)を読んでオトナの学び直しのスタートを切ろう!!

昨年末に発売された、永野裕之「中学生からの数学「超」入門 ─起源をたどれば思考がわかる」(筑摩書房)を読んでみた。

出版元の筑摩書房のウェブサイトには本の内容について次のように書かれている。

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数学に苦手意識をもっている人の多くは中学生の時点で挫折しているようだ。加えて、算数さえわかっていれば大人になって困らないという意見もまだまだ根強い。確かに、算数から数学に変わると、一気に難しくなるように感じるが、中学数学には公式の丸暗記では鍛えられない要素がたくさんある。さらに、学校とは違った、(1)図形、(2)数と式、(3)関数、(4)資料の活用という順番で数学史をもとに読み進めると、数学的に考える術を学ぶことが可能となる。読んで、解いて、強くなれ!

そして目次である。

はじめに


第1章 図形―幾何学
哲学は幾何学からはじまった
パスカルの説得術について
脅威のベストセラー『原論』の定義と公理
情報を整理し活用する「分類」
さまざまな視点―水平思考を磨く
「良い形式」を身につける―証明の進め方(中2)
「正しい推論」について
証明の初歩―三角形の合同条件(中3)
相似の問題演習
中学数学の到達点―三平方の定理(中3)
多くの定理が成立する美しい図形―円(中3)
円の問題演習
「逆を見る視点」を磨く―面積と長さ(中1)
「立場を変えて見る視点」を磨く―三平方の定理の利用(中3)
 
第2章 数と式―代数学
西のギリシャ、東のインド
1000年も受け入れられなかった「負の数」
古代オリエントで産声を上げた「代数学」
代数学の2人の「父」
方程式を解くために必要なこと
算数と数学の違い
解の公式をめぐる数学の挑戦
演繹的思考の功罪
数を概念で捉える―負の数(中1)
(-1)×(-1)=+1の理由
見えなくても存在が認められた数―平方根(中3)
『原論』にも通じる正しいプロセス―1次方程式(中1)
代入法こそ未知数消去の王道―連立方程式(中2)
中学数学で最難関の式変形に挑む―2次方程式(中3)
モデル化の練習―方程式の応用(中1から中3)
 
第3章 関数―解析学
「変数」との出会い
デカルトの「革命」―解析幾何学の誕生
オイラーから始まった「解析学」
関数は「函数」だった
因果関係について
1対1対応の使い方―「計算」の語源が「小石」である理由
変数との出会い―関数(中1から中3)
関数を調べる際の基本―変化の割合
原因をつきとめる―関数の利用(中1から中3)
変化を目撃する―関数とグラフ(中1から中3)
 
第4章 資料の活用―確率・統計学
確率論黎明期の論争①
確率論黎明期の論争②
確率論黎明期の論争③
「ラプラスの悪魔」について
統計家は最もセクシーな職業?
近代統計学の父
ナイチンゲールと統計学
ディーパーティーと推測統計
ランダムの難しさと大切さ
「同様に確からしいか」を確認する―確率(中2)
データの特性をつかむ―資料の整理(中1)
部分から全体を推し量る―標本調査(中3)
おわりに
参考文献
関連年表

著者の永野裕之先生によると、数学を学ぶ目的とは、「論理的思考力と発想力を磨くため」であると本書の冒頭で述べている。「論理的思考」とは換言すると「垂直思考 (Vertical Thinking)」であり、「発想力」とは既存の概念や論理に捉われずに自由な発想で物事を多方面から見る「水平思考 (Lateral Thinking)」である。「水平思考」を簡単に言えばいつもとは違った視点から物事を見る視点ということだろうか。

第1章の「図形(幾何学)」は、物事の論証の方法を学び、図形などの分類方法を学びそして水平思考を養成するにはベストな分野であることを説いている。なるほど、中学校2年生で学習する「証明」とはまさに「物事を論証」するお作法を学習するわけであるし、分類は三角形や四角形の中でも特色のある形(2角が等しい三角形など)を分類することでMECE (Mutually Exclusive and Collectively Exhaustive)の分類とは何ぞやということを学習できるわけであるし、水平思考は面積の計算などで養成できるものである。

第2章の「数と式(代数)」で印象的だったのは、算数と数学の違いである。小学校までは算数で中学に入ってからは数学であると何となくカリキュラムに沿って学習していたので、不出来なボクはその違いを考察することはこれまでほとんどなかったが、なるほどと納得できる指摘がなされていた。つまり、算数とは、消費税の計算だったり20%のポイント還元と20%の現金値引きのどちらがお得なのかといった生活するにあたって必要な力であり、解き方が分かっている既知の問題に対して、素早く正確に解答を与えることができることを養成する科目である。これに対して数学とは、未知の問題を解決する力を養うものであり、算数と比較すると抽象的な能力を養成するものだということが分かる。算数と数学の違いが出てくる例としては、文字式が出てくるか否かという点を指摘する人も多いが、まさに未知の問題を解決できるようにするスキルとして文字式が登場するのである。もう1点、この章で印象的だったのは「解の公式」に代表される数学の「公式」に対する態度である。これは以家庭教師をやっていた頃の生徒に対しては口を酸っぱく言ってきたことそのままだったのだが、「公式」はあまり意味が分からなくても「公式」に当てはめれば解答を与えられる点において便利なものである。ところが楽であるために、なぜ公式が導かれるのかを深く考えることをしなくなってしまう傾向にあり、この点が「公式」の持つ欠点であると言える。ボクも「解の公式」についてはなぜそのような式になるのかを生徒に解かせて結局は基本的なことを一般化しているにすぎないのだということを教えている。理屈を追わずに行う「公式」の丸暗記は意味がない点を指摘しているが、ボクもこの点について賛成したい。

この他、第3章の「関数」や第4章の「確率」の分野もその分野の歴史を概観した後に、教科書にあるような基本的な例題を通して、数学を学ぶことで具体的にどのような力が身に付くのかを分かりやすく解説している。

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ボクはもともと「歴史」が好きなのだが、高等学校まで数学を学んでも「数学史」を体系的に学んだことは少なくとも学校のカリキュラム上ではほとんどなかった。そういう意味で、好きだったあるいは嫌いだった数学をもう一度見つめ直す第一歩として、この本を使うことは実に意義深いと考える。

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